正余交变例

若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正余之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正即过弧之余也 若两弧内一用余度则其初数次数皆为正乘余半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正变为余弧之余而其又一弧仍系本度则正不变然则先所用两正相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数仿此 试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛过弧之余也又亥辛之余辛戊即过弧乙辛之正也然则先以辛戊正乗丙癸正者今不变为辛戊余乘丙癸正乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论【按此法即测星时第二法所用】 若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余相乘次数变为两正相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变 试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正皆变余【丙癸为丙亥弧余辛戊为辛亥弧余】癸已戊已两余皆变正【癸已为丙亥弧正戊巳为辛亥弧正】然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论 不同类 癸干初得数【两正】 【乗半径除之数】 午已次得数【两余乗半径除之数】 丁丙对边大其…